Какие фигуры называют подобными: Какие фигуры называются подобными?Что такое коэффициент подобия?

By | 28.12.2020

Подобие геометрических фигур,тел.(8 класс)

Скрыть

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд

Описание слайда:

2 слайд

Описание слайда:

Исследуемый вопрос:

3 слайд

Описание слайда:

Какие фигуры принято считать похожими? Используют ли в геометрии это понятие? Какие геометрические фигуры называются подобными? Какие из фигур всегда подобны, а какие нет? Какие треугольники подобны? План исследования: Полученные выводы!

4 слайд

Описание слайда:

Фигуры получаются подобными в результате преобразования, которое называется ГОМОТЕТИЯ. ЭТО как в кино, когда лучи из проектора попадая на экран, изображают подобные фигуры. У подобных фигур изменяются размеры сторон в одинаковое число раз, но при этом все углы остаются без изменения. О ТОМ как изменились стороны говорит нам их отношение, которое называется коэффициентом подобия К. Два многоугольника ( ABCDEF и abcdef, рис.37 ) подобны, если их углы равны: A = a, B = b, …, F = f , а стороны пропорциональны:

5 слайд

Описание слайда:

Если изменить ( увеличить или уменьшить ) все размеры плоской фигуры в одно и то же число раз ( отношение подобия ), то старая и новая фигуры называются подобными. Например, картина и её фотография – это подобные фигуры. ЗНАЧИТ! Теперь понятно КАКИЕ ФИГУРЫ НАЗЫВАЮТСЯ ПОДОБНЫМИ!

6 слайд

Описание слайда:

Какие фигуры всегда подобны а какие нет? Круги Квадраты Равносторонние треугольники Кубы Шары Эти всегда подобны! А эти нет! Прямоугольники Ромбы Трапеции овалы Для подобия многоугольников недостаточно только пропорциональности сторон. Например, квадрат и ромб имеют пропорциональные стороны: каждая сторона квадрата вдвое больше, чем у ромба, однако их диагонали не пропорциональны и углы не равны.

7 слайд

Описание слайда:

ЗНАЧИТ! Чтобы фигуры были подобны надо чтобы стороны их были пропорциональны а углы равны! Какие треугольники называются подобными? Два треугольника называются подобными, если их углы равны, а стороныпропорциональны. Выбери подобные.. AB BC CA ——— = ——- = ——– = k ab bc ca

8 слайд

Описание слайда:

Признаки подобия треугольников: Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Если две стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника ауглы заключённые между ними равны, то такие треугольники подобны. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

9 слайд

Описание слайда:

Признаки подобия прямоугольных треугольников: Два прямоугольных треугольника подобны, если: 1) их катеты пропорциональны; 2) катет и гипотенуза одного треугольника пропорциональны катету и гипотенузе другого; 3)два угла одного треугольника равны двум углам другого.

10 слайд

Описание слайда:

Будут ли? фигуры

11 слайд

Описание слайда:

Я пришёл к выводу: Если рассматривать похожесть и подобие, мы поймём, что это абсолютно разные вещи. Если подобные фигуры можно назвать похожими, то похожие подобными нет, и вот почему. Два разных треугольника можно назвать похожими, потому что например оба треугольника имеют 3 угла, 3 стороны, но это не означает, что они подобны. Так же у двух ромбов 4 стороны, 4 угла и они не подобны. Проанализировав всё это, мы приходим к выводу, что похожие фигуры не подобны. похожие фигуры не подобны.

12 слайд

Описание слайда:

На практике постоянно встречаются преобразования, при которых все расстояния изменяются в одном и том же отношении, т. е. умножаются на одно и то же число. такое преобразование называется подобным (или подобием), а это число называется коэффициентом подобия.Например, при увеличении фотографии все размеры увеличиваются в одном и том же отношении. т. е. происходит подобное преобразование с фотопленки на фотобумагу. Подобное преобразование свершается и тогда, когда делают уменьшенную копию чертежа, рисунка и т. д. так, например, вы поступаете, когда срисовываете чертеж с доски в свою тетрадь. Подобные фигуры имеют одинаковую форму, но различные размеры.

13 слайд

Описание слайда:

14 слайд

Описание слайда:

Конец В создании проекта помогали: Поисковая система яндекс: www.ya.ru Поисковая система Google: www.google.com Сайт www.ru.wikipedia.org Сайт www.bymath.net Сделал: Ученик школы №26 города Петропавловска-Камчатского 8 «Б» класса Гвенетадзе Вадим Руководитель:Учитель Коробейникова А.И.

Курс повышения квалификации

Курс профессиональной переподготовки

Учитель математики

Курс повышения квалификации

Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

Выберите категорию:
Все категорииАлгебраАнглийский языкАстрономияБиологияВнеурочная деятельностьВсеобщая историяГеографияГеометрияДиректору, завучуДоп. образованиеДошкольное образованиеЕстествознаниеИЗО, МХКИностранные языкиИнформатикаИстория РоссииКлассному руководителюКоррекционное обучениеЛитератураЛитературное чтениеЛогопедия, ДефектологияМатематикаМузыкаНачальные классыНемецкий языкОБЖОбществознаниеОкружающий мирПриродоведениеРелигиоведениеРодная литератураРодной языкРусский языкСоциальному педагогуТехнологияУкраинский языкФизикаФизическая культураФилософияФранцузский языкХимияЧерчениеШкольному психологуЭкологияДругое

Выберите класс:
Все классыДошкольники1 класс2 класс3 класс4 класс5 класс6 класс7 класс8 класс9 класс10 класс11 класс

Выберите учебник:
Все учебники

Выберите тему:
Все темы

также Вы можете выбрать тип материала:

Краткое описание документа:

На практике постоянно встречаются преобразования, при которых все расстояния изменяются в одном и том же отношении, т. е. умножаются на одно и то же число. такое преобразование называется подобным (или подобием), а это число называется коэффициентом подобия.Например, при увеличении фотографии все размеры увеличиваются в одном и том же отношении. т. е. происходит подобное преобразование с фотопленки на фотобумагу. Подобное преобразование свершается и тогда, когда делают уменьшенную копию чертежа, рисунка и т. д. так, например, вы поступаете, когда срисовываете чертеж с доски в свою тетрадь. Подобные фигуры имеют одинаковую форму, но различные размеры.

Общая информация

Номер материала:

462357

Похожие материалы

Оставьте свой комментарий

Подобные фигуры | LAMPA – платформа для публикации учебных материалов

Подобные треугольники

Подобные треугольники — треугольники, у которых соответствующие углы равны, а стороны сходственным сторонам. То есть △ABC∼△A1B1C1\bigtriangleup ABC\sim \bigtriangleup A_1B_1C_1△ABC∼△A1​B1​C1​ означает, что ∠A=∠A1\angle A=\angle A_1∠A=∠A1​, ∠B=∠B1\angle B=\angle B_1∠B=∠B1​, ∠C=∠C1\angle C=\angle C_1∠C=∠C1​, ABA1B1=BCB1C1=ACA1C1\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{AC}{A_1C_1}A1​B1​AB​=B1​C1​BC​=A1​C1​AC​. Отношение k=ABA1B1k=\frac{AB}{A_1B_1}k=A1​B1​AB​ называется коэффициентом подобия.

Признаки подобия

Для того чтобы треугольники △ABC\bigtriangleup ABC△ABC и △A1B1C1\bigtriangleup A_1B_1C_1△A1​B1​C1​ были подобны, достаточно, чтобы выполнялось одно из условий:

1. У △ABC\bigtriangleup ABC△ABC и △A1B1C1\bigtriangleup A_1B_1C_1△A1​B1​C1​ есть две пары равных углов, например ∠A=∠A1\angle A=\angle A_1∠A=∠A1​ и ∠B=∠B1\angle B=\angle B_1∠B=∠B1​;

2. У △ABC\bigtriangleup ABC△ABC и △A1B1C1\bigtriangleup A_1B_1C_1△A1​B1​C1​ есть пара равных углов, примыкающие к ним стороны , например ∠A=∠A1\angle A=\angle A_1∠A=∠A1​ и ABA1B1=ACA1C1\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}A1​B1​AB​=A1​C1​AC​;

3. У △ABC\bigtriangleup ABC△ABC и △A1B1C1\bigtriangleup A_1B_1C_1△A1​B1​C1​ стороны : ABA1B1=ACA1C1=BCB1C1\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{BC}{B_1C_1}A1​B1​AB​=A1​C1​AC​=B1​C1​BC​.

Подобные фигуры

Подобные фигуры — фигуры, у которых можно сопоставить точки таким образом, что для любой пары точек AAA и BBB первой фигуры и соответствующих им точек A1A_1A1​ и B1B_1B1​ второй фигуры выполняется соотношение AB=k⋅A1B1AB=k\cdot A_1B_1AB=k⋅A1​B1​, где kkk — некоторая постоянная величина. Величина kkk называется коэффициентом подобия.

Свойства подобных фигур

  • Соответствующие углы подобных многоугольников равны;
  • Если многоугольник имеет больше трех вершин, то
    • Из равенства только соответствующих углов многоугольников еще НЕ следует подобие фигур;
    • Из пропорциональности всех сторон еще НЕ следует подобие (равенство AB=k⋅A1B1AB=k\cdot A_1B_1AB=k⋅A1​B1​ должно выполняться для любой пары точек фигуры, не только для стороны многоугольника)
  • При получаются подобные фигуры;
  • Площади подобных фигур отличаются в k2k^2k2 раз, то есть S=k2⋅S1S=k^2\cdot S_1S=k2⋅S1​.

Примеры:
1. Все подобны друг другу;
2. и не подобны друг другу, хотя у любого квадрата и ромба стороны пропорциональны;
3. и НЕ подобны друг другу, хотя у них все углы равны 90º.

Презентация «Подобие геометрических фигур»

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Подобие
фигур
гометрических

Слайд 2

Исследуемый вопрос:
Можно ли подобные фигуры назвать
А похожие фигуры-
похожими?
подобными?

Слайд 3

Какие фигуры принято считать похожими? Используют ли в геометрии это понятие?
Какие геометрические фигуры называются подобными? Какие из фигур всегда подобны, а какие нет? Какие треугольники подобны?
Похожие фигуры:
Подобные фигуры:
План исследования:
Полученные выводы!

Слайд 4

Подобные фигуры:
Фигуры получаются подобными в результате преобразования, которое называется ГОМОТЕТИЯ. ЭТО как в кино, когда лучи из проектора попадая на экран, изображают подобные фигуры.
У подобных фигур изменяются размеры сторон в одинаковое число раз, но при этом все углы остаются без изменения.
О ТОМ как изменились стороны говорит нам их отношение, которое называется коэффициентом подобия К.
Два многоугольника ( ABCDEF и abcdef, рис.37 ) подобны, если их углы равны: A = a, B = b, …, F = f , а стороны пропорциональны:

Слайд 5

Если изменить ( увеличить или уменьшить ) все размеры плоской фигуры в одно и то же число раз ( отношение подобия ), то старая и новая фигуры называются подобными. Например, картина и её фотография – это подобные фигуры.
ЗНАЧИТ!
Теперь понятно КАКИЕ ФИГУРЫ НАЗЫВАЮТСЯ ПОДОБНЫМИ!

Слайд 6

Какие фигуры всегда подобны а какие нет?

Круги
Квадраты
Равносторонние треугольники
Кубы
Шары
Эти всегда подобны!
А эти нет!
Прямоугольники
Ромбы
Трапеции
овалы
Для подобия многоугольников недостаточно только пропорциональности сторон. Например, квадрат и ромб имеют пропорциональные стороны: каждая сторона квадрата вдвое больше, чем у ромба, однако их диагонали не пропорциональны и углы не равны.

Слайд 7

ЗНАЧИТ!
Чтобы фигуры были подобны надо чтобы стороны их были пропорциональны а углы равны!
Какие треугольники называются подобными?
Два треугольника называются подобными, если их углы равны, а стороныпропорциональны.
Выбери подобные..
AB BC CA ——— = ——- = ——– = k ab bc ca

Слайд 8

Признаки подобия треугольников:
Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Если две стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника ауглы заключённые между ними равны, то такие треугольники подобны. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Слайд 9

Признаки подобия прямоугольных треугольников:
Два прямоугольных треугольника подобны, если: 1) их катеты пропорциональны; 2) катет и гипотенуза одного треугольника пропорциональны катету и гипотенузе другого; 3)два угла одного треугольника равны двум углам другого.

Слайд 10

Будут ли?
Подобные
похожими
похожие
подобными?
фигуры

Слайд 11

Я пришёл к выводу:
Если рассматривать похожесть и подобие, мы поймём, что это абсолютно разные вещи. Если подобные фигуры можно назвать похожими, то похожие подобными нет, и вот почему. Два разных треугольника можно назвать похожими, потому что например оба треугольника имеют 3 угла, 3 стороны, но это не означает, что они подобны. Так же у двух ромбов 4 стороны, 4 угла и они не подобны. Проанализировав всё это, мы приходим к выводу, что похожие фигуры не подобны.
похожие фигуры не подобны.

Слайд 12

Слайд 13

Конец
В создании проекта помогали: Поисковая система яндекс: www. ya.ru Поисковая система Google: www.google.com Сайт www.ru.wikipedia.org Сайт www.bymath.net Сделал: Ученик школы №26 города Петропавловска-Камчатского 8 «Б» класса Гвенетадзе Вадим

Слайд 14

Подобие произвольных фигур [wiki.eduVdom.com]

Понятие подобия можно ввести не только для треугольников, но и для произвольных фигур.
Фигуры F и F1 называются подобными, если каждой точке фигуры F можно сопоставить точку фигуры F1 так, что для любых двух точек М и N фигуры F и сопоставленных им точек М1 и N1 фигуры F1 выполняется условие $\frac{M_1N_1}{MN} = k$ , где k — одно и то же положительное число для всех точек. При этом предполагается, что каждая точка фигуры F1 оказывается сопоставленной какой-то точке фигуры F. Число k называется коэффициентом подобия фигур F и F1.

Рис.1

На рисунке 1 представлен способ построения фигуры F1 , подобной данной фигуре F. Каждой точке М фигуры F сопоставляется точка М1 плоскости так, что точки М и М1 лежат на луче с началом в некоторой фиксированной точке О, причем ОМ1 = k*OM (на рис.1 k = 3). В результате такого сопоставления получается фигура F1, подобная фигуре F.

Этот способ построения фигуры F1, подобной фигуре F, называется центрально-подобным преобразованием фигуры F в фигуру F1 или гомотетией, а фигуры F и F1 — центрально-подобными или гомотетичными.

Можно доказать, что для треугольников общее определение подобия равносильно определению, данному в п.1.

Примерами подобных четырехугольников являются любые два квадрата (рис. 2, а), а также два прямоугольника, у которых две смежные стороны одного пропорциональны двум смежным сторонам другого (рис. 2, б).

Рис.2

Если каждую точку данной фигуры сместить каким-нибудь образом, то мы получим новую фигуру. Говорят, что эта фигура получена преобразованием из данной.

Гомотетия и рассмотренные ранее центральная симметрия и осевая симметрия — примеры преобразований фигур.

Рассмотрим еще один пример преобразования фигуры — параллельный перенос.

Преобразование фигуры F, при котором каждая ее точка Х(х; у) переходит в точку Х'(х + а; у + b), а и b постоянные, называется параллельным переносом (рис.3).

Рис.3

Параллельный перенос задается формулами
$$ x’ = x + a
\\ y’ = y + b
$$
Эти формулы выражают координаты х’, у’ точки, в которую переходит точка (х; у) при параллельном переносе.

Название «параллельный перенос» оправдывается тем, что при параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние.

Заметим также, что при параллельном переносе прямая переходит в параллельную прямую (или в себя).



Пример 1. При параллельном переносе точка (1; 1) переходит в точку (-1; 0). В какую точку переходит начало координат?

Решение. Любой параллельный перенос задается формулами х’ = х + а; у’ = у + b. Так как точка (1; 1) переходит в точку (-1; 0), то -1 = 1 + а; 0 = 1 + b. Отсюда а = -2 ; b = -1.

Таким образом, параллельный перенос, переводящий точку (1; 1) в (-1; 0), задается формулами х’ = х – 2 ; у’ = у – 1.

Подставляя в эти формулы координаты начала (х = 0; у = 0), получим: х’ = -2; у’ = -1.

Итак, начало координат переходит в точку (-2; -1).



Преобразование подобия

Еще в Древней Греции возникло учение о подобных фигуры. В частности, в книге «Начала» Евклид пишет о преобразовании подобия.

Преобразованием подобия, или сходством называется такое преобразование одной фигуры в другую, при котором расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз. Это число называется коэффициентом подобия. Коэффициент подобия обозначается латинской буквой k и является положительным числом.

  • Если коэффициент подобия равен единице, то преобразование является движением.
  • Если коэффициент подобия меньше единицы, то расстояние между точками уменьшается: если коэффициент подобия больше единицы, то расстояние между точками увеличивается.

Преобразование подобия имеет следующие свойства:

  • Преобразование подобия переводит прямые в прямые, полупрямые — в полупрямые, отрезки — в отрезки.
  • Преобразование подобия сохраняет углы между полупрямой.
  • Преобразование подобия переводит параллельные прямые в параллельные прямые.

Две фигуры называются подобными, если одну из них можно получить из другого с помощью преобразования подобия. Сходство фигур означает, что независимо от размеров и положения на плоскости эти фигуры имеют одинаковую форму.

Все круги подобны фигурами, все квадраты подобны фигурами.

Если первая фигура подобная второй фигуре с коэффициентом k, то вторая фигура тоже подобная первой фигуре, но с коэффициентом, обратным числу k, — 1 / k. Одним из преобразований подобия являются гомотетия.

Если две подобные фигуры размещены так, что все полупрямые, проведенные с некоторой точки через точки одной фигуры, проходят через соответствующие точки второй фигуры, то это гомотетия.

Гомотетии с центром в точке О и коэффициентом k называется такое преобразование одной фигуры в другую, при котором каждая точка Х первой фигуры переходит в точку Х ‘второй фигуры так, что точка Х’ лежит на луче, выходящий из точки О и проходит через точку Х, а расстояние между точкой О и точкой Х ‘равна расстоянию между точкой О и точкой Х, умноженной на коэффициент гомотетии k.

Практические советы.

Чтобы построить отрезок, гомотетичний данном отрезке с заданным центром гомотетии и заданным коэффициентом гомотетии, проведите полупрямые с началом в центре гомотетии, которые проходят через концы отрезка. На полупрямой от их начала отложите отрезки, длины которых равны соответственно длинам отрезков, соединяющих центр гомотетии с концами заданного отрезка, умноженных на коэффициент гомотетии, и соединяют точки, полученные на полупрямой.

 

Планиметрия. Страница 9






































































































         
 
Главная > Учебные материалы > Математика:  Планиметрия. Страница 9
 
   
 
 
 


1.Преобразование подобия и его свойства.
2.Подобие фигур. Подобие треугольников по двум углам.
3.Подобие треугольников по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.
4.Подобие треугольников по трем пропорциональным сторонам.

5.Подобие прямоугольных треугольников.

6.Примеры.





 

 

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
 

1.Преобразование подобия и его свойства

 
 

   Преобразованием подобия называется преобразование фигуры G в фигуру G’, у которой расстояние между точками изменяется в одно и тоже число раз. Т.е. ОA’ = k OA. Это означает, что для любых двух точек геометрической фигуры выполняется равенство A’B’ = k AB. (Рис.1) Число k называется коэффициентом подобия.




   Если взять произвольную точку, например точку О. И отложить отрезок OB’ = k OB, то такое преобразование фигуры G в фигуру G’ называется гомотетией. А число k называется коэффициентом гомотетии. Таким образом, гомотетия есть преобразование подобия.


Свойства преобразования подобия


   Преобразование подобия переводит прямые в прямые, полупрямые в полупрямые, отрезки в отрезки и при этом углы между прямыми сохраняются.



 

Рис.1 Преобразование подобия и его свойства.

 
         
         

2.

Подобие фигур. Подобие треугольников по двум углам

 
         
 

   Две фигуры называются подобными, если преобразованием подобия они переходят друг в друга. (Рис.2)



   Если две фигуры подобны третьей, то они подобны друг другу.




   Из свойств преобразования подобия следует, что у подобных фигур, соответсвующие стороны пропорциональны и соответствующие углы равны.



 

Рис.2 Подобие фигур.

 
 

Подобие треугольников по двум углам


   Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. (Рис.3)



   Докажем это утверждение. Пусть даны два треугольника ABC и A’B’C’.


   Преобразованием подобия преобразуем треугольник A’B’C’ в треугольник A”B”C” с коэффициентом k, т.е. подвергнем гомотетии. Полученный треугольник A”B”C” равен треугольнику ABC по стороне и прилегающим к ней углам. Т.к. преобразование подобия сохраняет углы, а расстояние между двумя точками изменяется в k раз. Следовательно треугольники A’B’C’ и A”B”C” подобны. А т.к. треугольники ABC и A”B”C” равны, то треугольник ABC подобен треугольнику A’B’C’.


 

Рис.3 Подобие треугольников по двум углам.

 
       
       

3.

Подобие треугольников по двум сторонам и углу между ними

   
       
 

   Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.


   Докажем это утверждение. (Доказательство аналогично доказательству подобия по двум углам) Пусть даны два треугольника ABC и A’B’C’.


   Преобразованием подобия преобразуем треугольник A’B’C’ в треугольник A”B”C” с коэффициентом k, т.е. подвергнем гомотетии. Полученный треугольник A”B”C” равен треугольнику ABC по двум сторонам и углу между ними со сторонами kA’B’=A”B” и kA’C’=A”C”. Т.к. преобразование подобия сохраняет углы, а расстояние между двумя точками изменяется в k раз. Следовательно треугольники A’B’C’ и A”B”C” подобны. А т.к. треугольники ABC и A”B”C” равны, то треугольник ABC подобен треугольнику A’B’C’, т.е. kA’B’=AB, kB’C’=BC и kA’C’=AC.





 

Рис.3 Подобие треугольников.

 
         

4.Подобие треугольников по трем сторонам

   
       
 

   Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.


   Доказательство. (Доказательство аналогично доказательству подобия по двум углам) Пусть даны два треугольника ABC и A’B’C’.


   Преобразованием подобия преобразуем треугольник A’B’C’ в треугольник A”B”C” с коэффициентом k, т.е. подвергнем гомотетии. В результате получим треугольник A”B”C”, который равен треугольнику ABC по трем сторонам kA’B’=A”B”, kВ’C’=В”C” и kA’C’=A”C”. Т.к. преобразование подобия сохраняет углы, а расстояние между двумя точками изменяется в k раз. Следовательно треугольники A’B’C’ и A”B”C” подобны. И т.к. треугольники ABC и A”B”C” равны, то треугольник ABC подобен треугольнику A’B’C’.





 

Рис.4 Подобие треугольников по трем сторонам.

 
         
   
 
   
 

5.

Подобие прямоугольных треугольников

 

    Если два прямоугольных треугольника имеют по одному равному острому углу, то такие треугольники подобны.


    Пусть дан прямоугольный треугольник ABC. Проведем высоту CD. Треугольники ABC и ADC подобны, т.к. угол А у них общий. Так же как и треугольники ADC и BDC. Следовательно:


   Т.е. катет прямоугольного треугольника равен средней геометрической гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу. А высота в прямоугольном треугольнике равна средней геометрической между проекциями катетов на гипотенузу.


   Отсюда можно сделать вывод, что в любом треугольнике биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. (Свойство биссектрисы треугольника).



 

Рис. 5 Подобие прямоугольных треугольников.

 
 

   Докажем это утверждение. Пусть дан треугольник ABC. (Рис.6) BE – биссектриса. Треугольники ABE и BCD подобны. Углы В у них равны. Треугольники ADE и DCF также подобны. Углы D у них равны, как вертикальные. Отсюда можно записать следующие соотношения для двух пар треугольников.



   Т.е. отрезки AD и DC пропорциональны сторонам AB и BC.



 

Рис.6 Подобие прямоугольных треугольников.

 
         
         
         

6.

Пример 1

 

   Докажите, что фигура подобная окружности, есть окружность.

 
         
 


   Доказательство:

   Пусть даны две окружности F и F’ с радиусами R1 и R2 . Подберем коэффициент k так, чтобы kR1 = R2. Необходимо доказать, что окружности подобны.

   Зададим на плоскости систему координат с осями Оx и Oy таким образом, чтобы центр первой окружности F совпал с началом координат. Параллельным переносом переместим вторую окружность F’ так, чтобы ее центр также совпал с началом координат. На окружности F возьмем две произвольные точки А и В. И проведем между ними хорду. Также проведем к этим точкам радиусы ОА и ОВ, которые продлим до окружности F’, т. е. ОA’ и OB’.
Оси Оx и Оy повернем так, чтобы ось Oy пересекала хорду под прямым углом (Рис.7). Тогда k OA = OA’.

   Теперь рассмотрим треугольник ОАС.

   


 

Рис.7 Задача. Докажите, что фигура подобная окружности, есть окружность.

 
         
 



   Таким образом, мы пришли к выводу, что A’B’ = k AB. А это означает, что расстояние между любыми двумя точками окружности F’ в k раз больше, чем расстояние между подобными точками в окружности F, т.е фигуру F’ можно получить преобразованием подобия или гомотетией относительно точки О. А это значит, что окружности F и F’ подобны.


 
         
         
 

Пример 2

 
 

   У треугольников АВС и А1В1С1 ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1. AB = 6, AC = 9, A1B1 = 10, B1C1 = 10. Найдите остальные стороны треугольников.

 
         
 


   Решение:

   Пусть даны два треугольника АВС и А1В1С1 ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1 (Рис.8). Данные треугольники подобны по двум углам: ∠A = ∠A1 и ∠В = ∠B1. Отсюда следует, что все стороны второго треугольника отличаются от сторон первого треугольника в k число раз, т.е. коэффициент подобия. Найдем число k:

   k = AB / А1В1 = 6 / 10 = 3 / 5

   Отсюда следует, что

   ВС = k * В1С1 = (3 / 5) * 10 = 6 см

   А1С1 = АС / k = 9 / (3 / 5) = 15 см



 

Рис. 8 Задача. У треугольников АВС и А1В1С1

 
         
         
 

Пример 3

 
 

   В трапеции ABCD основание АD = 32 см, а основание ВС = 8 см. Угол между диагональю АС и стороной СD равен углу ∠АВС, т.е. ∠АВС = ∠АСD. Найдите диагональ АС.

 
         
 


   Решение:

   В трапеции два основания лежат на параллельных прямых (Рис.9). Отсюда следует, что угол ∠CAD = ∠BCA, как внутренние накрест лежащие углы. Следовательно, треугольники АВС и АСD подобны по двум углам: ∠AВС = ∠АCD по условию задачи, ∠CAD = ∠BCA, как внутренние накрест лежащие углы.

   Тогда можно составить следующие соотношение:

   
k = АС / ВС = AD / AC

. Следовательно,

   AC2 = BC * AD

   AC2 = 8 * 32 = 256

   Отсюда, АС = 16 см.



 

Рис.9 Задача. В трапеции ABCD основание АD = 32 см…

 
         
         
 

Пример 4

 
 

   В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты AD, BE, CF. Найдите углы треугольника DEF, если в треугольнике АВС ∠А = α, ∠В = β, ∠С = γ.

 
         
 



      Решение:

   Рассмотрим два прямоугольных треугольника AFC и ABE. Они подобны по одному острому углу, так как угол при вершине А у них общий. Следовательно, угол ∠FCE = ∠ABE. Обозначим его как ϕ3. Аналогичным образом обозначим:

   
∠BAD = ∠FCB = ϕ1

   
∠DAC = ∠CBE = ϕ2


 
         
 


   Рассмотрим два прямоугольных треугольника AFO и DOC. Они подобны по одному острому углу: углы при вершине О равны как вертикальные (Рис. 10). Отсюда следует, что треугольники FOD и AOC также подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

   Так как OD / OF = OC / AO

   Следовательно,
OD / OС = OF / AO

   Отсюда следует равенство углов:

   
∠DFC = ∠DAC = ϕ2

   Треугольники BFO и EOC подобны. У них углы при вершине О равны как вертикальные, а углы при вершинах F и E прямые. Отсюда следует подобие треугольников FOE и BOC. Следовательно,

   
∠EFC = ∠EBC = ϕ2



 

Рис.10 Задача. В остроугольном треугольнике АВС…

 
         
 



   Так как ϕ1 + ϕ2 + ϕ3 = 90° (из прямоугольного треугольника BFC),

то в треугольнике FDE угол при вершине F равен:

   
∠F = 2 * ϕ2 = 180° – 2 * (ϕ1 + ϕ3) = 180° – 2 * γ

   Аналогичным образом выводится, что:

   
∠D = 2 * ϕ3 = 180° – 2 * (ϕ1 + ϕ2) = 180° – 2 * α

   
∠E = 2 * ϕ1 = 180° – 2 * (ϕ2 + ϕ3) = 180° – 2 * β



 
         
 

Пример 5

 
 

   В треугольник ABC вписан ромб ADEF, таким образом, что угол А у них общий, а вершина Е находится на стороне ВС. АВ = 12 см, АС = 4 см. Найдите сторону ромба.

 
         
 


   Решение:

   Так как у ромба противоположные стороны параллельны, то треугольники АВС и DBE подобны по двум углам:
∠А = ∠D, ∠C = ∠E
как соответственные (Рис.11).

   Тогда можно составить следующие соотношение:

   AC / DE = AB / DB

   AC / DE = AB / (AB – AD)

   так как AD = DE, то

   AC / DE = AB / (AB – DE)

   4 / DE = 12 / (12 – DE)

   48 – 4 DE = 12 DE

   48 = 16 DE

   Отсюда, DE = 3 см.




 

Рис. 11 Задача. В треугольник ABC вписан ромб ADEF…

 
         
         
 
   
 
         

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
         
 

Содержание

     
         
  Страница 1   Страница 7  
 
1. Основные фигуры планиметрии.

2.Аксиомы планиметрии.

3.Смежные углы.

4.Вертикальные углы.

5.Перпендикулярные прямые.

6.Признаки равенства треугольников.
 
1.Движение и его свойства.

2.Симметрия относительно точки.

3.Симметрия относительно прямой.

4.Параллельный перенос и его свойства.
 
         
  Страница 2   Страница 8  
 
1.Параллельность прямых.

2.Признаки параллельности прямых.

3.Свойство углов при пересечении параллельных прямых.

4.Сумма углов треугольника.

5. Единственность перпендикуляра к прямой.

6.Высота, биссектриса и медиана треугольника.

7.Свойство медианы равнобедренного треугольника.
 
1.Вектор и его абсолютная величина.

2.Сложение векторов.

3.Умножение вектора на число.

4.Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам.

5.Скалярное произведение векторов.
 
         
  Страница 3   Страница 9  
 
1.Окружность.

2.Окружность описанная около треугольника.

3.Окружность вписанная в треугольник.

4.Геометрическое место точек.


 
1. Преобразование подобия и его свойства.

2.Подобие фигур. Подобие треугольников по двум углам.

3.Подобие треугольников по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

4.Подобие треугольников по трем пропорциональным сторонам.

5.Подобие прямоугольных треугольников.
 
         
  Страница 4   Страница 10  
 
1.Параллелограмм.

2.Свойства диагоналей параллелограмма.

3.Ромб.

4.Теорема Фалеса.

5.Средняя линия треугольника.

6.Трапеция.

7.Теорема о пропорциональных отрезках.

 
1.Углы, вписанные в окружность.

2.Пропорциональность хорд и секущих окружности.

3.Теорема косинусов.

4.Теорема синусов.

5.Соотношение между углами и сторонами в треугольнике.
 
         
  Страница 5   Страница 11  
 
1.Теорема Пифагора.

2.Египетский треугольник.

3.Соотношение между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике.

4.Основные тригонометрические тождества.


 
1.Многоугольники. Правильные многоугольники.

2.Радиус вписанной и описанной окружностей правильных многоугольников.

3.Подобие многоугольников.

4. Длина окружности.
 
         
  Страница 6   Страница 12  
 
1.Декартова система координат.

2.Расстояние между точками.

3.Уравнение окружности.

4.Уравнение прямой.

5.Координаты точки пересечения.

 
1.Площадь прямоугольника.

2.Площадь параллелограмма.

3.Площадь треугольника.

4.Площадь круга.

5.Площадь подобных фигур.

6.Площадь трапеции.
 
 
     
 

О подобии произвольных фигур / Подобные треугольники / Справочник по геометрии 7-9 класс

  1. Главная
  2. Справочники
  3. Справочник по геометрии 7-9 класс
  4. Подобные треугольники
  5. О подобии произвольных фигур

Подобные фигуры – это такие фигуры Fи F1, что каждой точке фигуры F можно сопоставить точку фигуры F1 так, что для любых двух точек М и N фигуры F и сопоставленных им точек М1 и N1 фигуры F1 выполняется равенство , где – одно и то же положительное число для всех точек. При этом предполагается, что каждая точка фигуры F1 оказывается сопоставленной какой-то точке фигуры F. Число называется коэффициентом подобия фигур F и F1.

Способ построения фигуры, подобной данной

Построим фигуру F1, подобную фигуре F. Каждой точке М фигуры F сопоставляется точка М1 плоскости так, что точки М и М1 лежат на луче с началом в некоторой фиксированной точке О, причем ОМ = ОМ1. В результате такого сопоставления получается фигура F1, подобная фигуре F (Рис. 1). В таком случае фигуры F и F1 называются центрально-подобными, а само описанное сопоставление называется центральным подобием или гомотетией.

Примерами подобных четырехугольников являются любые два квадрата (рис.2,), а также два прямоугольника, у которых две смежные стороны одного прямоугольника пропорциональны двум смежным сторонам другого (рис.2, б). Примерами подобных фигур произвольной формы являются две географические карты одного и того же района, но имеющие разный масштаб, а также фотографии одного и того же предмета, сделанные в разных увеличениях.

Замечание

Отношение площадей двух подобных многоугольников равно квадрату коэффициента подобия (также как и отношение площадей двух подобных треугольников).

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Пропорциональные отрезки

Определение подобных треугольников

Отношение площадей подобных треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Средняя линия треугольника

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Практические приложения подобия треугольников

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30, 45 и 60

Подобные треугольники



Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс


Задание 14,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


© budu5. com, 2021

Пользовательское соглашение

Copyright







Похожие фигурки

Две фигуры называются

похожий

если они одинаковой формы. Говоря более математическим языком, две фигуры похожи, если их соответствующие углы равны

конгруэнтный

, а отношения длин соответствующих сторон равны.

Это обычное отношение называется

масштаб

.

Символ

используется для обозначения сходства.


Пример 1:

На рисунке ниже пятиугольник

А

B

C

D

E

пятиугольник

V

W

Икс

Y

Z

.

(Обратите внимание, что порядок, в котором вы пишете вершины, имеет значение; например,

пятиугольник

А

B

C

D

E

является

нет

похож на пятиугольник

V

Z

Y

Икс

W

. )


Пример 2:

Два цилиндра похожи. Найдите масштабный коэффициент и

радиус

второго цилиндра.

Высота цилиндра справа составляет

1

3

высота цилиндра слева.Итак, коэффициент масштабирования равен

1

3

.

Чтобы получить радиус меньшего цилиндра, разделите

1,8

к

3

.

1,8

÷

3

знак равно

0,6

Итак, радиус меньшего цилиндра равен

0,6

см.

Обратите внимание, что двухмерная фигура похожа на другую, если вторая может быть получена из первой последовательностью

вращения

,

размышления

,

переводы

, и

расширение

.


Пример 3:

На рисунке выше шестиугольник

А

1

B

1

C

1

D

1

E

1

F

1

переворачивается по горизонтали, чтобы получить

А

2

B

2

C

2

D

2

E

2

F

2

.

Тогда шестиугольник

А

2

B

2

C

2

D

2

E

2

F

2

переводится, чтобы получить

А

3

B

3

C

3

D

3

E

3

F

3

.

Шестиугольник

А

3

B

3

C

3

D

3

E

3

F

3

расширяется на коэффициент масштабирования

1

2

получить

А

4

B

4

C

4

D

4

E

4

F

.

Обратите внимание, что

А

1

B

1

C

1

D

1

E

1

F

1

А

2

B

2

C

2

D

2

E

2

F

2

А

3

B

3

C

3

D

3

E

3

F

3

А

4

B

4

C

4

D

4

E

4

F

4

.

То есть все четыре шестиугольника похожи. (Фактически, первые три совпадают.)


Пример 4:

Рассмотрим пятиугольник

п

Q

р

S

Т

на координатной плоскости.

Ротация

180

°

о происхождении берет пятиугольник, чтобы

п

Q

р

S

Т

.

Теперь расширение начала координат на коэффициент масштабирования.

2

занимает пятиугольник

п

Q

р

S

Т

к

п

Q

р

S

Т

.

Обратите внимание, что

п

Q

р

S

Т

п

Q

р

S

Т

п

Q

р

S

Т

. То есть все три пятиугольника похожи. (И первые два совпадают.)

Похожие

Две формы похожи на , когда одна может стать другой после изменения размера , переворота, сдвига или поворота.

Изменение размера

Если одна форма может стать другой с помощью изменения размера (также называемого расширением, сжатием, сжатием, увеличением или даже расширением ), то формы похожи :

Эти формы похожи!

Если нет необходимости изменять размер, то фигуры лучше называть конгруэнтными *.

Могут быть и повороты, и перевороты, и скольжения!

Иногда бывает трудно увидеть, похожи ли две фигуры, потому что вам также может потребоваться повернуть, перевернуть или сдвинуть фигуру.

Примеры

Вот 3 примера фигур, которые похожи на :

Изменение размера с измененным размером и
с отражением
с измененным размером и
с поворотом

Почему это полезно?

Если две формы похожи, тогда:

  • соответствующие углы равны, а
  • линии пропорциональны.

Это может значительно облегчить жизнь при решении геометрических головоломок, как в этом примере:

Пример: Какой здесь недостающей длины?

Обратите внимание, что у красного треугольника такие же углы , как у синего треугольника …

… у них обоих есть один прямой угол и общий угол в левом углу

Фактически мы можем перевернуть красный треугольник, немного повернуть его, изменить размер, и он поместится точно поверх синего треугольника.Итак, это треугольник, аналогичный .

Таким образом, длины строк пропорциональны:

  • У синего треугольника две стороны с соотношением 130/127
  • У красного треугольника совпадают стороны в соотношении? / 80

и можем рассчитать:

? = 80 ×

130 127 = 81,9

(Никаких вычурных расчетов, только здравый смысл.)

Соответствующее или подобное?

Фигуры конгруэнтны, если они одного размера (но могут быть повернуты, отражены или перемещены). Итак, когда формы станут такими же:

Когда мы … Тогда формы …
… только поворот, отражение и / или перемещение

Конгруэнт

… также нужно Изменить размер

Похожие

* Сходны ли и конгруэнтные формы?

Большинство людей (включая нас) говорят: « Конгруэнтные формы также являются подобными ».

Пример:

Мы можем перемещать и вращать оранжевую фигуру, чтобы она точно соответствовала синей, так что две фигуры равны Congruent .

Нам не нужно изменять размер , чтобы формы были похожими! Таким образом, они также похожи на , хотя изменение размера не требовалось.

Подобные фигурки

Решение:

Примечание:

Соответствующие углы обозначены на схемах аналогичным образом.

Пример 11

Найдите значение местоимения на следующей диаграмме.

Решение:


Решение проблем

Пример 12

Найдите значение высоты h м на следующей диаграмме в
по которому теннисный мяч должен попасть так, чтобы он просто прошел над сеткой
и приземлиться на расстоянии 6 метров от основания сети.

Решение:

Итак, высота, на которой должен быть ударен мяч, составляет 2,7 м.

Пример 13

Адам смотрит в зеркало и видит крышу здания. Его глаза
1,25 м над уровнем земли, как показано на следующем рисунке.

Если Адаму 1.5 м от зеркала и 181,5 м от основания
здание, какова высота здания?

Решение:

Итак, высота здания 150 м.

Примечание:

а. Равные углы обозначены на схемах аналогичным образом.

г. Два треугольника подобны, если:

  • две пары соответствующих сторон имеют одинаковое соотношение и угол
    между сторонами одинаково для обоих треугольников.
  • соответствующие стороны находятся в таком же соотношении.
  • соответствующие углы такие же.

Ключевые термины

аналогичные фигурки в масштабе
фактор, равносторонний, аналогичный
треугольники

похожих многоугольников

Два многоугольника одинаковой формы называются похожими многоугольниками. Символ «похоже на» – ∼. Обратите внимание, что это часть символа «совпадает с».Когда два многоугольника похожи, эти два факта и должны быть верными:

  • Соответствующие углы равны.
  • Соотношение пар соответствующих сторон должно быть одинаковым.

На рисунке 1 четырехугольник ABCD ∼ четырехугольник EFGH.

Рисунок 1 Подобные четырехугольники.

Это означает: м A = м E , м B = м F , м C = м = м , м D = м H и

Для многоугольника может быть истинным один из вышеперечисленных фактов, но не истинным другой факт.Следующие два примера показывают, как это возможно.

На рисунке 2 четырехугольник QRST не похож на четырехугольник WXYZ.

Рисунок 2 Четырехугольники, которые не похожи друг на друга.

Несмотря на то, что соотношения сторон равны, соответствующие углы не равны (90 ° ≠ 120 °, 90 ° ≠ 60 °).

На рисунке 3 четырехугольник FGHI не похож на четырехугольник JKLM.

Рисунок 3 Четырехугольники, которые не похожи друг на друга.

Даже если соответствующие углы равны, отношения каждой пары соответствующих сторон не равны (3/3 ≠ 5/3).

Пример 1: На рисунке 4 четырехугольник ABCD ∼ четырехугольник EFGH. (a) Найдите м E. (b) Найдите x.

Рисунок 4 Подобные четырехугольники.

(a) м E = 90 ° (∠ E и ∠ A – соответствующие углы одинаковых многоугольников, а соответствующие углы одинаковых многоугольников равны. )

(b) 9/6 = 12/ x (Если два многоугольника похожи, то отношения каждой пары соответствующих сторон равны.)

% PDF-1.4
%
407 0 объект
>
endobj

xref
407 172
0000000016 00000 н.
0000004969 00000 н.
0000005054 00000 н.
0000005292 00000 н.
0000006643 00000 п.
0000006690 00000 н.
0000006736 00000 н.
0000006784 00000 н.
0000006831 00000 н.
0000006878 00000 н.
0000006925 00000 н.
0000006972 00000 н.
0000007018 00000 п.
0000007066 00000 н.
0000007113 00000 п.
0000007161 00000 п.
0000007209 00000 н.
0000007257 00000 н.
0000007305 00000 н.
0000007353 00000 п.
0000007401 00000 п.
0000007454 00000 н.
0000007501 00000 н.
0000007579 00000 п.
0000007655 00000 н.
0000007949 00000 п.
0000008269 00000 н.
0000008653 00000 п.
0000009046 00000 н.
0000009402 00000 п.
0000009449 00000 н.
0000009497 00000 н.
0000009543 00000 н.
0000009590 00000 н.
0000009637 00000 н.
0000009684 00000 п.
0000009730 00000 н.
0000009776 00000 п.
0000009823 00000 п.
0000009870 00000 н.
0000009917 00000 н.
0000018043 00000 п.
0000026086 00000 п.
0000026163 00000 п.
0000026522 00000 п.
0000026965 00000 п.
0000034115 00000 п.
0000038738 00000 п.
0000043063 00000 п.
0000047778 00000 п.
0000048067 00000 п.
0000048522 00000 н.
0000048875 00000 п.
0000049142 00000 п.
0000049491 00000 п.
0000049697 00000 п.
0000050480 00000 п.
0000050586 00000 п.
0000051197 00000 п.
0000051307 00000 п.
0000051371 00000 п.
0000051762 00000 п.
0000051959 00000 п.
0000052252 00000 п.
0000052633 00000 п.
0000053294 00000 п.
0000053672 00000 п.
0000054181 00000 п.
0000054846 00000 п.
0000054897 00000 п.
0000054934 00000 п.
0000055646 00000 п.
0000055721 00000 п.
0000062114 00000 п.
0000062893 00000 п.
0000063065 00000 п.
0000063235 00000 п.
0000063586 00000 п.
0000063768 00000 п.
0000064030 00000 п.
0000064291 00000 п.
0000068847 00000 п.
0000070669 00000 п.
0000072951 00000 п.
0000076190 00000 п.
0000077145 00000 п.
0000083365 00000 п.
0000083417 00000 п.
0000087989 00000 п.
00000 00000 п.
0000100881 00000 н.
0000100933 00000 н.
0000103749 00000 п.
0000103932 00000 н.
0000105456 00000 п.
0000105566 00000 н.
0000105865 00000 н.
0000106378 00000 п.
0000106449 00000 н.
0000106535 00000 н.
0000106639 00000 н.
0000106778 00000 н.
0000106855 00000 н.
0000106926 00000 н.
0000107039 00000 п.
0000107128 00000 н.
0000107217 00000 п.
0000107377 00000 н.
0000108027 00000 н.
0000108140 00000 н.
0000108259 00000 н.
0000108821 00000 н.
0000109112 00000 н.
0000109523 00000 п.
0000109975 00000 н.
0000110381 00000 п.
0000110800 00000 н.
0000111222 00000 н.
0000111685 00000 н.
0000111783 00000 н.
0000113641 00000 п.
0000113929 00000 н.
0000114090 00000 н.
0000116031 00000 н.
0000116322 00000 н.
0000116696 00000 н.
0000161518 00000 н.
0000161557 00000 н.
0000202953 00000 н.
0000202992 00000 н.
0000203521 00000 н.
0000203669 00000 н.
0000204198 00000 н.
0000204348 00000 п.
0000207020 00000 н.
0000207350 00000 н.
0000207562 00000 н.
0000207765 00000 н.
0000208063 00000 н.
0000208325 00000 н.
0000208580 00000 н.
0000208953 00000 н.
0000210725 00000 н.
0000215659 00000 н.
0000215828 00000 н.
0000216691 00000 н.
0000217559 00000 н.
0000220496 00000 н.
0000220719 00000 н.
0000220929 00000 н.
0000221514 00000 н.
0000222497 00000 н.
0000223001 00000 п.
0000224684 00000 н.
0000225868 00000 н.
0000228083 00000 н.
0000229475 00000 н.
0000232134 00000 н.
0000233329 00000 н.
0000235895 00000 н.
0000236507 00000 н.
0000237847 00000 н.
0000240918 00000 п.
0000241732 00000 н.
0000243947 00000 н.
0000245214 00000 н.
0000249340 00000 п.
0000249878 00000 н.
0000250120 00000 н.
0000250332 00000 н.
0000250588 00000 н.
0000003736 00000 н.
трейлер
] / Назад 2423198 >>
startxref
0
%% EOF

578 0 объект
> поток
ч ޴ T {PU? ~ ׺! $ g [1 $ d; KhLBMC 0D * -d: 0B: 9MDG; s {~

NikkiMasson_geometry_similar

NikkiMasson_geometry_similar

Учебное пособие по геометрии
Сходство плана объекта

К:

Никки Массон
и Брук Бакелью


День
3 / Урок 3:
.
Подобные полигоны

Целей:

1.Идентифицировать
похожие полигоны

2. Использование
похожие полигоны для решения задач.

Открывалка:
Исследовать
Полигоны в GSP

Нажмите
здесь: Подобные полигоны


Введение:

Отзыв
что две формы совпадают, если они имеют одинаковую форму и
размер. Когда две фигуры имеют одинаковую форму, но разные размеры,
мы называем формы похожими. Вы также можете думать о похожих объектах
или формы как масштабированные версии друг друга.

Пример:
Машинки и самолеты – уменьшенные версии реальных
объекты. В этом разделе мы просто сконцентрируемся на похожих полигонах.

Отзыв
что многоугольник – это замкнутая фигура, состоящая из конечного числа
отрезков, не пересекающих друг друга. Ниже приведены несколько
примеры полигонов:

Определения:

1. Полигоны
соответствующие углы совпадают, а соответствующие
стороны пропорциональны называются аналогичными многоугольниками .

Пример:

Проверить
углы и соответствующие стороны:

Все
углы в прямоугольнике совпадают друг с другом и теперь проверьте
что стороны пропорциональны друг другу.

2. Масштаб
фактор
: Если два многоугольника похожи, то соотношение
длины двух соответствующих сторон – это масштабный коэффициент.

Весы
factor = k в приведенном выше примере определяется следующим образом:

2 * к = 4,
так что k = 2.

Теперь мы
будут иметь такие же отношения между двумя другими сторонами:

2 * к = 3,
так что k = 2.


Решение
Проблемы с похожими полигонами:

Там
три способа найти недостающую длину стороны многоугольника
когда вам дается пара похожих многоугольников.

1. “Масштаб
Фактор “Метод. Учитывая, что два многоугольника похожи, существует
– коэффициент масштабирования между соответствующими сторонами многоугольников,
назовем масштабный коэффициент k. Мы можем использовать отношения между
две соответствующие стороны, чтобы найти остальные соответствующие
стороны.

Нажмите
здесь, чтобы измерить
сторона ИК.

2. “Относительный
Размер “Метод. Теперь мы будем использовать соотношение между
стороны одного многоугольника, чтобы найти длины сторон другого
полигоны.

3. Установить
пропорционально, чтобы найти недостающую длину стороны. Мы знаем это
пропорция – это два равных друг другу соотношения, поэтому вы
может использовать соотношение, относительный размер или масштабный коэффициент, и
найти недостающую сторону.


Приложения
Использование похожих многоугольников:

1.Большой
флаг, развевающийся перед школой, составляет 4 фута. высокий на 8 футов. и 5 дюймов.
широкий. Предположим, вы хотите сделать уменьшенную версию флага.
Если вы хотите, чтобы флаг был 2 фута. высокий, какой ширины должен быть
вниз версия флага быть? Используйте любой из трех имеющихся у нас методов
только что обсуждалось.

Подсказка:
Убедитесь, что все ваши единицы одинаковы в соотношениях
вы настроили.

Теорема:

Если два
многоугольники похожи, тогда соотношение их периметров равно
соотношениям соответствующих длин сторон.

Исследовать
эти похожие
полигоны
в GSP посмотрим, верна ли теорема:

Возврат
на главную страницу EMAT6690

Вернуться к основному плану урока по геометрии

Та же форма, но не размер: Сходство

Та же форма, но не размер: Сходство

Вернуться к содержанию

Обзор базовой геометрии – Урок 12

Обзор урока

Сходство

Масштабные модели распространены во многих увлечениях и профессиях.Распространенные примеры:
легковые автомобили,
корабли
самолеты
поезда
ракеты
[матрешка] куклы,
и фигурки, не говоря уже о масштабных рисунках или масштабе
макеты для архитектурных планов. Обычная оптика, такая как
бинокли, микроскопы, телескопы и даже проекция
По такому же принципу работают телевизоры и кинопроекторы.
В каждом случае есть прообраз и соответствующий образ.
с определенным изменением их размера.
Таким образом, мы можем определить преобразование подобия в терминах
декартовых координат каждой точки изображения.(Для двухмерного изображения положите z = 0 или опустите его.)

ВЫРАВНИТЬ = ЦЕНТР>

Пусть S k будет преобразованием преобразования
( x , y , z ) на ( kx , ky , kz ).

k по-разному называется величиной , масштабным коэффициентом ,
Коэффициент изменения размера , или даже соотношение подобия .
Это может быть любое значение, кроме нуля.Однако обычно k принимают как положительное значение.
Отрицательные значения приводят к повороту фигуры на 180 °.
Если k = 1, преобразование подобия не является
изометрия.
Изометрии (отражение, перенос, вращение и скользящее отражение),
являются только одним классом преобразований.
Другой важный класс преобразований – это те, которые сохраняют
форма без обязательного сохранения размера.
Далее следует формальное определение.

ВЫРАВНИТЬ = ЦЕНТР>

Преобразование – это преобразование подобия тогда и только тогда, когда
это композиция изменений размеров и отражений.

Помните
как сохраняются изометрии Угловая мера, промежуточность, коллинеарность,
и расстояние (теорема ABCD). Угловая мера, промежуточность,
и коллинеарность по-прежнему сохраняются благодаря сходству. Таким образом, только Distance
не сохранилось. Однако расстояние масштабируется на величину k .
То есть расстояние между любыми точками на новом рисунке теперь составляет k
умноженное на исходное расстояние.
Если 0 < k <1, наше результирующее изображение меньше оригинала.Это называется сокращением .
Если k > 1, наше результирующее изображение больше оригинала.
Это называется расширением , расширением или, возможно,
расширение .
Если k = 1, у нас есть преобразование identity и наше
результирующее изображение того же размера, что и исходное.
Классическим примером может служить увеличение изображения или
буквы разным размером шрифта: zZ ZZ.

Рисунки F и G похожи (обозначение: F ~ G),
тогда и только тогда, когда размер изменяется и отражения накладываются друг на друга.
Подобные фигурки обладают следующими свойствами:

ALIGN = CENTER>

  1. Сегменты, образованные точками на предварительном изображении, параллельны соответствующему сегменту.
  2. Расстояние между двумя точками на изображении составляет k в раз больше расстояния между точками предварительного изображения.
  3. Линии, соединяющие предварительное изображение и соответствующие точки преобразованного изображения, пересекаются в начале координат.

Сходство в измерениях

Если две фигуры похожи, то соответствующие углы
равны, но длины сторон пропорциональны.
Отношение подобия для подобных фигур полезно для
относящиеся к другим измерениям, таким как периметр, площадь и объем.
Однако следует четко помнить о размерности измерения.
То есть масштаб периметра составляет k ,
тогда как площадь масштабируется как k 2 и
объем как k 3 .

Пример: Рассмотрим аналогичные пропорции 5 футов 6 дюймов, 67 кг.
учитель математики и баскетболист ростом 6 футов 8 дюймов. Найди баскетбольный мяч.
масса игрока. Решение: Их массы не соответствуют напрямую
с высотой, но с кубом. Таким образом, чтобы найти соответствующую массу
баскетболиста формируем пропорцию :
(66 дюймов / 80 дюймов) 3 = 67/ x . Нам нужно уметь легко
решите для x = 119 кг (или 263 фунта).Подробнее об этом ниже.

Пример: Одно из самых больших противоречий относительно масштабных моделей.
и пропорции (см. ниже) связаны с печально известным
Кукла Барби.
Он дебютировал в 1959 году, поэтому его история насчитывает несколько поколений.
с тех пор продано более миллиарда, а две сейчас где-то продаются каждую секунду.
У средней американской девушки будет восемь штук. Феминистки ее ненавидят,
ярлык «бессмысленная блондинка». Другие винят ее в булимии,
анерексия и подростковые самоубийства.В 1998 году Mattel выпустила два десятка новых
Барби, треть из которых изменила форму тела, чтобы «казаться больше
современник “. Возможно, это было в ответ на жалобы на нее
заявили 38-18-34 габариты. Таким образом, модифицированные куклы имели более толстую талию,
с более плоской грудью, более плоскими ступнями и более плотными губами. Учитывать
старомодная Барби ростом 11,133 дюйма, которую вы хотите
масштабировать до 5 футов 9 дюймов. Если у вас есть настоящая Барби, измерьте
ее бюст, талия и бедра, затем вычислите соответствующие соотношения,
и сравните их со значениями 35 -? – 31, найденными одним автором.

Если G – прообраз, а G – образ, то:

  • Периметр G ‘= k 1 × периметр G.
  • Площадь G ‘= k 2 × площадь G.
  • Объем G ‘= k 3 × объем G.

Растяжение, сдвиг

Рассмотрим теперь 2 × 2
матрицы при матричном умножении.
Мы ограничимся этим простым случаем.Пусть a ij будет произвольным элементом в
матрица A в строке i и столбце j и
b ij быть произвольным элементом в
матрица B в строке i и столбце j . Таким образом
матрица A = и
матрица B = и

A × B = C, где
c 11 = a 11 × b 11 +
a 12 × b 21 ,
c 12 = a 11 × b 12 +
a 12 × b 22 ,
c 21 = a 21 × b 11 +
a 22 × b 21 , и
c 22 = a 21 × b 12 +
a 22 × b 22 , или

матрица C =

a 11 × b 11 +
a 12 × b 21
a 11 × b 12 +
a 12 × b 22
a 21 × b 11 +
a 22 × b 21
a 21 × b 12 +
a 22 × b 22

. Это может быть легче увидеть с помощью скалярного произведения векторов,
но мы оставим эту тему на другой день.
В частности, обратите внимание, что в отличие от сложения и вычитания матриц,
при матричном умножении мы не просто умножаем элемент на элемент.

Теперь посмотрим, что произойдет, если единичная матрица 2 × 2
матрица I 2 =

используется для умножения вправо или влево.
I 2 × A = A × I 2 = A.

Продолжая, рассмотрим, что происходит, когда используется следующая матрица.В этих обозначениях изменение размера 2 может быть представлено преобразованием
каждая точка P = ( x , y ) путем умножения матрицы
матрица P =

на матрицу

и изменение размера на 1/2 может быть преобразовано аналогичным образом с помощью матрицы
.
Таким образом, матрицы широко используются для преобразований.

Фиксированные точки

Фиксированная точка – это точка, которая не изменяется при данном преобразовании.
Мы можем классифицировать изометрические преобразования по количеству фиксированных точек.В частности, если все точки являются фиксированными, то преобразование
это преобразование идентичности .
Если не все, но бесконечное количество точек остаются фиксированными, то мы
иметь отражение над этой линией точек.
Если зафиксирована только одна точка, то у нас есть поворот на на вокруг
эта точка. Если никакие точки не остаются фиксированными, у нас есть перевод .
Что вы можете доказать, если найдете три неколлинеарных неподвижных точки?

Соотношения и пропорции

Отношение – это частное двух целых чисел, имеющих одинаковые единицы измерения.
меры.Ставки аналогичны коэффициентам, но единицы измерения
различаются между двумя числами. Например, 60 миль в час – это
скорость, тогда как 60 миль в час / 30 миль в час – это соотношение. Отношение можно записать в виде
несколько различных форм: m : n или m / n
solidus) или м выше n (с винкулумом). Когда
два соотношения (или ставки) равны, мы можем установить их равными в пропорции .
Пропорции – важный способ решения определенных типов проблем.

При работе с пропорциями часто встречается то, что называется
перекрестное умножение . Прежде чем перейти к этому, давайте будем
ясно о названиях различных терминов, участвующих в пропорции.
Обычно используются две системы именования. Первый метод нумерует
термины. Таким образом, если соотношение равно a / b = c / d ,
a – термин 1; b – термин 2; c – срок 3; и
d – член 4.Члены, пронумерованные квадратами (1 и 4), являются
известные как крайние , тогда как термины, пронумерованные простыми числами
(2 и 3) известны как означает .

Перекрестное умножение часто преподают как новый трюк, но на самом деле
это то же самое, что очистить знаменатели, то есть умножить на оба
знаменатели. Таким образом, начиная с a / b = c / d ,
мы можем умножить обе части на b и на d и получить
ad = cb , где мы исключили общие множители. Мы можем достичь этого за один шаг, также умножив крайности и
устанавливая продукт равным произведению средств. Когда сделано в
таким образом мы используем свойство Средние-крайности или
делаем перекрестное умножение. Дело в том, что этот сокращенный метод
нет ничего нового, и те же опасения по поводу умножения на что-то
который может быть равен нулю.
Когда средства равны ( см. задача 12.5 # 16), мы получаем
среднее геометрическое , которое будет обсуждаться подробнее в следующем
урок и уже был рассмотрен
статистика.Так же, как у нас были увеличенные передаточные числа, у нас может быть расширенных пропорций .
Закон синусов из урока 7 – хороший тому пример.

Золотое сечение

Поскольку мы ввели золотое сечение
ранее, мы ожидаем, что вы вспомните
обычно используемый символ (Ø), значение (или
1,618 …
0,618 ….),
тип числа (иррациональное), квадратное уравнение, с которым оно связано
( x 2 x – 1 = 0), и как соотношение
последовательные числа Фибоначчи сходятся поочередно сверху и снизу
на этот номер. Можно сказать гораздо больше.
Фактически, целые книги ( Золотое сечение Марио Ливио)
были написаны по этому поводу. Некоторые считают прямоугольники
с таким соотношением, чтобы иметь наиболее эстетичную форму.
Греки и, возможно, другие древние культуры могли использовать это
соотношение при планировании их строительства (но, возможно, нет!).
Споры относительно
египетские пирамиды вряд ли скоро исчезнут.

Путешествие Гулливера

Социальная сатира Путешествие Гулливера
написанная Джонатаном Свифтом и опубликованная в 1726 году, широко используется
пропорций, а также создает очень интересную детскую сказку.Как вы можете (а можете и не вспомнить), г-н Гулливер делает четыре разных
путешествует и встречает четыре очень разных культуры.
Лилипуты 1/12 его размера и погрязли в
недоверие и банальные споры.
Brobdingnagians в 12 раз больше его, очень щедрые и добросердечные.
Во время третьего и четвертого плаваний,
несколько культур, включая гуигнгнмов и яху,
напоминают мистеру Гулливеру о многих загубленных жизнях.

Крайности, с которыми столкнулся г-н Гулливер, подчеркивает
биологические ограничения масштаба.Маленькие существа могут существовать
только с экзоскелетом, тогда как большие существа требуют
внутреннее строение скелета. Даже тогда большие ноги
слона резко контрастируют с длинной шеей и узкими ногами
жираф. Синий кит быстро насытится без плавучести воды.
Точно так же комар может ходить по воде, но при попадании на него капли дождя может
никогда не вылезай из воды живым (оууу).
(Крупные млекопитающие, существовавшие после исчезновения динозавров
возможно, этому способствовала атмосфера с более высоким содержанием кислорода
чем сегодня.)

Человеческое тело имеет среднюю форму, которая становится выше и
тяжелее в последние годы, но есть большие различия в размерах
из различных частей. Предположительно такое изменение следует нормальному
(колоколообразное) распределение), но упражнения, диета, лекарства и хирургия
часто используется для достижения определенных форм, которые считаются более привлекательными или
желаемый.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *